Secrets de géométrie: Maîtrisez l'art de tracer des perpendiculaires au compas
Qui n'a jamais été fasciné par la précision géométrique d'une cathédrale gothique ou l'élégance d'un dessin technique parfaitement réalisé? Derrière ces chefs-d'œuvre se cachent souvent des outils simples, mais puissants, comme le compas. Bien plus qu'un simple instrument pour tracer des cercles, le compas permet également de construire des droites perpendiculaires, éléments clés de nombreuses figures géométriques.
Tracer une droite perpendiculaire à une autre, c'est s'assurer qu'elles se croisent en formant un angle droit parfait. Cette notion fondamentale de la géométrie plane trouve des applications dans de nombreux domaines, de l'architecture à l'art en passant par l'ingénierie. Mais comment, avec un simple compas, peut-on réaliser un tel exploit de précision ?
L'histoire de la construction géométrique à la règle et au compas remonte à l'Antiquité grecque. Euclide, dans ses fameux "Éléments", a codifié les principes de base de cette géométrie, démontrant comment construire de nombreuses figures à partir de points, de droites et de cercles. La construction de la perpendiculaire au compas est l'un des piliers de cette géométrie classique.
Maîtriser cette technique offre de nombreux avantages. Tout d'abord, elle permet de réaliser des constructions précises sans avoir besoin d'un rapporteur d'angles. De plus, elle développe la visualisation spatiale et la compréhension des relations géométriques. Enfin, c'est une source de satisfaction personnelle que de pouvoir construire des figures complexes à partir d'outils aussi simples.
Avant de vous lancer dans la construction de perpendiculaires, quelques définitions s'imposent. Une droite perpendiculaire à une autre forme avec elle un angle droit, soit 90 degrés. Le compas, quant à lui, est un instrument permettant de tracer des cercles de rayon donné. La pointe sèche du compas sert de pivot, tandis que la mine trace le cercle. Maintenant que les bases sont posées, découvrons ensemble comment réaliser ce prodige géométrique.
Pour tracer une droite perpendiculaire à une droite donnée (d) passant par un point A situé sur cette droite, procédez comme suit:
1. Placez la pointe sèche du compas sur le point A.
2. Ouvrez le compas à une certaine distance et tracez un arc de cercle qui coupe la droite (d) en deux points, B et C.
3. En gardant la même ouverture de compas, placez la pointe sèche sur le point B et tracez un arc de cercle au-dessus de la droite (d).
4. Répétez l'opération en plaçant la pointe sèche sur le point C. Les deux arcs de cercle se coupent en un point D.
5. Tracez la droite passant par les points A et D. Cette droite est perpendiculaire à la droite (d) et passe par le point A.
Cette construction simple et élégante repose sur les propriétés des triangles isocèles et des médiatrices. En effet, les points B et C sont équidistants de A par construction. La droite (AD) est donc la médiatrice du segment [BC], ce qui implique qu'elle est perpendiculaire à (BC) et donc à (d).
La maîtrise de la construction de la perpendiculaire au compas ouvre la porte à un univers de constructions géométriques plus complexes. N'hésitez pas à vous entraîner et à explorer les multiples facettes de cet outil fascinant qu'est le compas.
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